L'objet de la physique est de représenter mathématiquement un système, de regarder comment il réagit, et de comparer le résultat à ce que dit l'expérience. Si les résultats concordent, c'est que le modèle mathématique a une part de vérité.

La mécanique quantique relève évidemment de ce principe. L'état d'un système est représenté par un objet mathématique, on lui applique un opérateur et on obtient la mesure théorique d'une grandeur physique. Par exemple l'objet mathématique représentera un électron, on lui appliquera un opérateur qui nous donnera son mouvement. Si le mouvement de cet électron est comparable au mouvement d'un vrai électron c'est que la théorie est bonne.

La première difficulté est de représenter l'état d'un système par un objet mathématique. Il faut pour cela introduire la notion de base et de vecteur.
Sur une feuille de papier quadrillée la position de n'importe quel point peut être représentée par un couple de nombres : le nombre de carreaux à partir de la gauche et le nombre de carreaux à partir du haut. Ce couple de deux nombres est un vecteur. La base c'est le trait horizontal d'un carreau et le trait vertical d'un carreau.
Ce même point peut être représenté dans d'autres bases. Par exemple on pourra prendre pour base les diagonales du carreau.
Et si on voulait positionner un point dans l'espace, on aurait besoin d'un troisième nombre.

En mécanique quantique les vecteurs de base de la position ne sont plus au nombre de deux, ils sont une infinité et ceci pour chacune des trois directions de l'espace. Le simple triplet de nombres devient alors une fonction continue et tridimensionnelle : c'est la fonction d'onde. On l'appelle ainsi parce que si on passe de la mécanique classique à la mécanique quantique, la particule ponctuelle se transforme en un paquet d'onde, un exemple de paquet d'onde étant un train de vagues qui se déplace sur l'eau et qu'on crée en lançant en caillou dans le lac.
On peut également changer de base et passer d'une base des positions à une base des vitesses, ou une base représentant n'importe quelle autre propriété d'un système : polarisation de la lumière, moment cinétique, énergie...
Le passage d'une base à l'autre se fait à l'aide d'opérateurs, par exemple l'opérateur nommé « Hamiltonien » permet de connaître l'énergie d'un système. Tous ces opérateurs sont connus et sont représentatifs de lois physiques.

Cet objet mathématique, qu'il soit une fonction d'onde ou autre chose, n'est pourtant pas directement mesurable. Il n'est évidemment pas possible de mesurer une fonction. Quand on cherche la position d'une particule on trouve bel et bien trois coordonnées en mètres et non un ensemble infini de valeurs !
En réalité quand on observe un système on ne peut observer que les états de base. Par exemple pour l'exemple d'un point sur du papier quadrillé, si il correspondait à la représentation quantique d'un système, on pourrait mesurer soit « trait vertical » soit « trait horizontal » mais pas « 3 traits verticaux et 5 traits horizontaux ». En revanche le carré de ces coordonnées nous donne la probabilité de mesurer un état ou l'autre. Par exemple pour « 3 traits verticaux et 5 traits horizontaux », on aurait 9 chances sur 36 de mesurer « vertical » et 25 chances sur 36 de mesurer « horizontal ». Je ne me hasarderai pas à débattre de la véritable signification de ces probabilités : la physique est-elle ou non déterministe ?

Rajoutons que l'état du système est généralement calculé à l'aide de l'équation de Schrödinger en fonction du Hamiltonien du système.